Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；

（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个点，点P是直线AB上一点．当△PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标．

Answer

（1）直线AB的解析式为：y=-x+2；（2）（2）不变．理由见解析；（3）点P的坐标为（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）．

【解析】

（1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入列出方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出直线AB解析式；

（2）当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值不变，理由为：过A作AE垂直于x轴，AF垂直于y轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，求出A的坐标得到AE=AF，再由已知直角相等，利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=FD，进而求出OC-OD的值即可；

（3）分三种情况考虑：①当M为直角顶点时；②N为直角顶点时；③P为直角顶点时；分别求出P坐标即可．

（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），

∵点A（-4，4），点B（0，2）在直线AB上，

∴，

解得：．

∴直线AB的解析式为：y=-x+2；

（2）不变．理由如下：

过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F（如答图1），可得∠AEC=∠AFD=90°，

又∵∠BOC=90°，

∴∠EAF=90°，即∠DAE+∠DAF=90°，

∵∠CAD=90°，即∠DAE+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠DAF，

∵A（-4，4），

∴OE=AF=AE=OF=4，

在△AEC和△AFD中，

，

∴△AEC≌△AFD（ASA），

∴EC=FD，

∴OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8，

则OC-OD的值不发生变化，值为8；

（3）①当M为直角顶点时，点P的横坐标为-4，

∵点P在直线AB上，

将x=-4代入y=-x+2得，y=4，

∴点P的坐标为P（-4，4）；

②当N为直角顶点时，点P的横坐标为2，

∵点P在直线AB上，

将x=2代入y=-x+2得，y=1，

∴点P的坐标为P（2，1）；

③当P为直角顶点时，

∵点P在直线AB上，可设点P的坐标为（x，-x+2），

则MP2=（x+4）2+（-x+2）2，NP2=（x-2）2+（-x+2）2，

在Rt△PMN中，MP2+NP2=MN2，MN=6，

∴（x+4）2+（-x+2）2+（x-2）2+（-x+2）2=62，

解得：x1=-，x2=，

∴P（-，+2）或（，-+2），

综上所述，满足条件的所有点P的坐标为（-4，4）或（2，1）或（-，+2）或（，-+2）．