Question

如图，在四边形ABCD中，∠DAB，∠CBA的平分线交于点E．

（1）若∠AEB=105°，求∠C+∠D的度数．

（2）若∠C+∠D=200°，求∠AEB的度数．

（3）试探究∠C+∠D与∠AEB之间的关系？

Answer

（1）210°；（2）100；（3）∠C+∠D=2∠AEB

【解析】

（1）先根据角平分线得出∠DAB＝2∠EAB，∠CBA＝2∠EBA；再根据三角形内角和求出∠EAB+∠EBA的度数；最后根据四边形内角和即可求出

（2）有∠C+∠D的度数可以求出∠DAB+∠CBA的度数；根据角平分线可求出∠EAB+∠EBA；最后根据三角形内角和求出∠AEB

（3）根据四角形内角和、三角形内角和、角平分线得出角的关键，根据等量代换即可得出.

（1）【解析】
∵∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，

∴∠DAB＝2∠EAB，∠CBA＝2∠EBA，

在△EAB中，∠EAB+∠EBA＝180°﹣∠AEB＝180°﹣105°＝75°，

∴∠DAB+∠CBA＝2（∠EAB+∠EBA）＝150°，

∴∠C+∠D＝360°﹣（∠DAB+∠CBA）＝360°﹣150°＝210°．

（2）∵∠C+∠D=200°

∴∠DAB+∠CBA=360°﹣200°＝160°

∵∠DAB，∠CBA的平分线交于点E

∴∠EAB+∠EBA=（∠DAB+∠CBA）=80°

∴∠AEB=180°-（∠EAB+∠EBA）=180°-80°=100°

（3）∠C+∠D=2∠AEB，理由如下：

∠C+∠D＝360°﹣（∠DAB+∠CBA）

=360°﹣2（∠EAB+∠EBA）

=360°﹣2（180°﹣∠AEB）

=360°﹣360°+2∠AEB

=2∠AEB