Question

如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE⊥ AB ，P 为 AB 的延长线上一点，PC 与⊙O相切于点 C，连结 CE，交 AB 于点 F，连结 OC．

（1）求证：PC=PF.

（2）连接 BE，若∠CEB=30°，半径为 8，tan P ，求 FB 的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）FB=4-2.

【解析】

（1）证明∠PFC=∠PCF，即可得出PF=PC；

（2）连结BC，OB，过点B作BG⊥CP于点G，可得△OBC为等边三角形，即BC=8，∠BCP=30°．在Rt△CBG中，求得BG=4，CG=4，根据，可得PG=3，PB=5，PF=PC=3+4，进而可求得FB的长．

（1）∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE．

∵PC切⊙O于点C，∴∠PCE+∠OCE=90°．

∵OE⊥AB，∴∠OEC+∠EFA=90°．

∵∠EFA=∠CFP，∴∠PFC=∠PCF，∴PF=PC．

（2）连结BC，OB，过点B作BG⊥CP于点G．

∵∠CEB=30°，∴∠BOC=60°．

∵OB=OC，圆的半径为8，∴△OBC为等边三角形，∴BC=8，∠BCP=30°，∴BG=4，CG=4．

∵，∴PG=3，PB=5，PF=PC=3+4，∴FB=PF－BP=42．