Question

某甜品店用 A，B 两种原料制作成甲、乙两款甜品进行销售，制作每份甜品的原料所需用量如下表所示．该店制作甲款甜品 x 份，乙款甜品 y 份，共用去A 原料 2000 克．

原料 款式	A 原料(克)	B 原料(克)
甲款甜品	30	15
乙款甜品	10	20

（1）求 y 关于 x 的函数表达式．

（2）已知每份甲甜品的利润为 a 元(a 正整数)， 每份乙甜品的利润为 2 元. 假设两款甜品均能全部卖出．

①当 a=3 时，若获得总利润不少于 220 元，则至少要用去 B 原料多少克？

②现有 B 原料 3100 克，要使获利为 450 元且尽量不浪费原材料，甲甜品的每份利润应定为多元？

Answer

（1）y=200-3x；（2）①至少要用去 B 原料 1300 克；②甲甜品的每份利润应定为 8 元．

【解析】

（1）根据甲、乙两种甜品所需A种原料及总的用料量得出30x+10y=2000，变换成函数解析式形式即可；

（2）①根据利润的要求得3x+2y≥220与（1）中的关系求出变量y的范围，把B原料用量表示成x、y的函数，即可利用y的范围求出B原料使用的最小值；

②根据B原料的总量15x+20y≤3100与利润总量ax+2y=450的要求，结合不等式与方程，求正整数解即可解决问题．

（1）由题可得：30x+10y=2000，即y=200﹣3x，故y关于x的函数表达式为y=200﹣3x；

（2）①由题意：3x+2y≥220，而由（1）可知3x=200﹣y代入可得：

200﹣y+2y≥220

∴y≥20．

设B原料的用量为w，则w=15x+20y，即w=15y+1000．

∵k=15，w随y的增大而增大，∴当y取最小值20时，可得w的最小值为15×20+1000=1300．

故若获得总利润不少于220元，则至少要用去B原料1300克．

②由题意：15x+20y≤3100

即：15x+20（200﹣3x）≤3100，解得：x≥20．

又∵ax+2y=450，即：ax+2（200﹣3x）=450，a=6，而a，x均为正整数且x≥20，于是可得：x=50，a=7或x=25，a=8．

当x=50时，需要B原料1750；

当x=25时，需要B原料2875，为了尽量不浪费原材料，a应取8．

故在设定条件下，甲甜品的每份利润应定为8元．