Question

如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(3，4)，P 为线段 OA 上一动点，过 O，P，B 三点的圆交 x 轴正半轴于点 C，连结 AB, PC，BC，设 OP=m.

（1）求证：当 P 与 A 重合时，四边形 POCB 是矩形.

（2）连结 PB，求 tan∠BPC 的值.

（3）记该圆的圆心为 M，连结 OM，BM，当四边形 POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的 m 的值.

（4）作点 O 关于 PC 的对称点O ，在点 P 的整个运动过程中，当点O 落在△APB 的内部 (含边界)时，请写出 m 的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）tan∠BPC=；（3）m=或 m=；（4）0≤m≤或 m=．

【解析】

（1）由∠COA=90°可知PC为直径，所以∠PBC=90°，P、A重合时得3个直角，即证四边形POCB为矩形．

（2）题干已知的边长只有OA、AB，所以要把∠BPC转化到与OA、OB有关的三角形内．连接O，B，根据圆周角定理，得∠COB=∠BPC，又AB∥OC有∠ABP=∠COB，得∠BPC=∠ABO．

（3）分两种情况：①OP∥BM即BM⊥x轴，延长BM交x轴于N，根据垂径定理得ON=CN=3，设半径为r，利用Rt△CMN的三边关系列方程即可求出；②OM∥PB，根据圆周角定理和等腰三角形性质得到△BOM≌△COM，所以BO=CO=5，用m表示各条线段，再利用勾股定理列方程求得m的值．

（4）因为点O与点O'关于直线对称，所以∠PO'C=∠POC=90°，即点O'在圆上；考虑点P运动到特殊位置：①点O'与点O重合；②点O'落在AB上；③点O'与点B重合．算出对应的m值再考虑范围．

（1）∵∠COA=90°，∴PC是直径，∴∠PBC=90°．

∵A（0，4）B（3，4），∴AB⊥y轴，∴当A与P重合时，∠OPB=90°，∴四边形POCB是矩形；

（2）连结OB，（如图1）

∴∠BPC=∠BOC．

∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，∴∠BPC=∠BOC=∠ABO，∴tan∠BPC=tan∠ABO；

（3）∵PC为直径，∴M为PC中点．

①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N．

∵OP∥BM，∴BN⊥OC于N，∴ON=NC，四边形OABN是矩形，∴NC=ON=AB=3，BN=OA=4．

设⊙M半径为r，则BM=CM=PM=r，∴MN=BN﹣BM=4﹣r．

∵MN2+NC2=CM2，∴（4﹣r）2+32=r2

解得：r，∴MN=4．

∵M、N分别为PC、OC中点，∴m=OP=2MN；

②如图3，当OM∥PB时，∠BOM=∠PBO．

∵∠PBO=∠PCO，∠PCO=∠MOC，∴∠OBM=∠BOM=∠MOC=∠MCO．

在△BOM与△COM中，∵∠BOM=∠COM，∠OBM=∠OCM，BM=CM，∴△BOM≌△COM（AAS），∴OC=OB5．

∵AP=4﹣m，∴BP2=AP2+AB2=（4﹣m）2+32．

∵∠ABO=∠BOC=∠BPC，∠BAO=∠PBC=90°，∴△ABO∽△BPC，∴，∴PC，∴PC2BP2[（4﹣m）2+32]．

又PC2=OP2+OC2=m2+52，∴[（4﹣m）2+32]=m2+52

解得：m或m=10（舍去）．

综上所述：m或m．

（4）∵点O与点O'关于直线对称，∴∠PO'C=∠POC=90°，即点O'在圆上．

当O'与O重合时，得：m=0；

当O'落在AB上时，得：m；

当O'与点B重合时，得：m；

∴0≤m或m．