Question

如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为_____．

Answer

1或

【解析】

分两种情况进行讨论：当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．

分两种情况进行讨论：①如图所示，当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形．

由折叠可得：∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，

∴∠CFP=180°，

即点P，F，C在一条直线上．

在Rt△CDE和Rt△CFE中，，

∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），

∴CF=CD=4，设AP=FP=x，则BP=4﹣x，CP=x+4．

在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2，

解得：x，即AP；

②如图所示，当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形．

过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°．

又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，

∴∠FEQ=∠ECD，

∴△FEQ∽△ECD，

∴，即，

解得：FQ，QE，

∴AQ=HF，AH，

设AP=FP=x，则HPx．

∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，

即（x）2+（）2=x2，解得：x=1，即AP=1．

综上所述：AP的长为1或．