Question

已知抛物线y＝x²+bx+c经过点（1，0）和点（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）当自变量x满足﹣1≤x≤3时，求函数值y的取值范围；

（3）将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，求m的值．

Answer

(1) 抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3, 顶点坐标为（2，﹣1）；(2) ﹣1≤x＜8；(3) m的值为3+或1+

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线解析式；然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；

（2）先计算出当x＝﹣1和x＝3对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后抛物线解析式为y＝（x﹣2﹣m）2﹣1，利用二次函数的性质，当2+m＞5，此时x＝5时，y＝5，即（5﹣2﹣m）2﹣1＝5，；设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后抛物线解析式为y＝（x﹣2+m）2﹣1，利用二次函数的性质得到2﹣m＜1，此时x＝1时，y＝5，即（1﹣2﹣m）2﹣1＝5，然后分别解关于m的方程即可．

【解析】
（1）把（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得 解得

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；

（2）当x＝﹣1时，y＝x2﹣4x+3＝8，

当x＝3时，y＝x2﹣4x+3＝0，

∴当﹣1≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤x＜8；

（3）设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后抛物线解析式为y＝（x﹣2﹣m）2﹣1，

∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，

∴2+m＞5，即m＞3，

此时x＝5时，y＝5，即（5﹣2﹣m）2﹣1＝5，解得m1＝3+，m2＝3﹣（舍去），

设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后抛物线解析式为y＝（x﹣2+m）2﹣1，

∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，

∴2﹣m＜1，即m＞1，

此时x＝1时，y＝5，即（1﹣2﹣m）2﹣1＝5，解得m1＝1+，m2＝1﹣（舍去），

综上所述，m的值为3+或1+．