Question

如图所示，在边长为4正方形OABC中，OB为对角线，过点O作OB的垂线．以点O为圆心，r为半径作圆，过点C做⊙O的两条切线分别交OB垂线、BO延长线于点D、E，CD、CE分别切⊙O于点P、Q，连接AE．

（1）请先在一个等腰直角三角形内探究tan22.5°的值；

（2）求证：

①DO＝OE；

②AE＝CD，且AE⊥CD．

（3）当OA＝OD时：

①求∠AEC的度数；

②求r的值．

Answer

（1）tan22.5°＝﹣1；（2）①见解析；②见解析；（3）①∠AEC的度数为45°；②r=2

【解析】

（1）如图1，△GMN是等腰直角三角形，过点N作NF平分∠MNG，交GM于点F，过点F作FH⊥NG于H．根据角平分线的性质可得FM＝FH，利用三角函数可得GF＝FH，从而有GF＝FM，进而可得MN＝（+1）FM，在Rt△FMN中运用三角函数就可求出tan22.5°的值．

（2）如图2，①易证∠DOC＝∠EOC＝135°，根据切线长定理可得∠PCO＝∠QCO，从而可证到△DOC≌△EOC，则有OD＝OE．②易证△AOE≌△COD，从而有AE＝CD，∠AEO＝∠CDO．由∠KDO+∠DKO＝90°可得∠AEO+∠DKO＝90°，即可证到AE⊥CD．

（3）连接OQ，如图3．由OC＝OE得∠OEC＝∠OCE，从而求出∠OEC＝22.5°．在Rt△OQE中，运用三角函数可得到然后运用勾股定理就可求出r的值．

【解析】
（1）如图1，△GMN是等腰直角三角形．

则有∠M＝90°即GM⊥MN，MG＝MN，∠MGN＝∠MNG＝45°．

过点N作NF平分∠MNG，交GM于点F，过点F作FH⊥NG于H．

∵NF平分∠MNG，FH⊥NG，FM⊥MN，

∴

∵FH⊥NG即∠FHG＝90°，∠G＝45°，

∴

∴GF＝FH．

∴GF＝FM．

∴MN＝MG＝MF+FG＝MF+FM＝（+1）FM．

在Rt△FMN中，

tan∠FNM＝tan22.5°

∴tan22.5°＝﹣1．

（2）①如图2，

∵四边形OABC是正方形，

∴OA＝OC，∠AOB＝∠BOC＝45°．

∴∠EOC＝180°﹣∠BOC＝135°．

∵OD⊥OB即∠DOB＝90°，

∴∠DOC＝∠DOB+∠BOC＝135°．

∴∠DOC＝∠EOC．

∵CD、CE分别与⊙O相切于P、Q，

∴∠PCO＝∠QCO．

在△DOC和△EOC中，

∴△DOC≌△EOC（ASA）．

∴OD＝OE．

②∵∠AOB＝45°，

∴∠AOE＝135°．

∴∠AOE＝∠DOC．

在△AOE和△COD中，

∴△AOE≌△COD（SAS）．

∴AE＝CD，∠AEO＝∠CDO．

∵∠DOB＝90°，∴∠KDO+∠DKO＝90°．

∴∠AEO+∠DKO＝90°．

∴∠KRE＝90°．

∴AE⊥CD．

（3）①∵OA＝OD，OA＝OC，OD＝OE，

∴OA＝OD＝OE＝OC．

∴点A、D、E、C在以点O为圆心，OA为半径的圆上．

∴根据圆周角定理可得∠AEC＝∠AOC＝45°．

∴∠AEC的度数为45°．

②连接OQ，如图3．

∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠OCE．

∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OEC＝45°，

∴∠OEC＝22.5°

∵CE与⊙O相切于点Q，

∴OQ⊥EC，即∠OQE＝90°．

在Rt△OQE中，

∵∠OQE＝90°，

∴tan∠OEQ＝tan22.5°

∵OQ＝r，

∴

∵∠OQE＝90°，

∴OQ2+QE2＝OE2．

∵

∴

整理得

解得：r＝．

∴r的值为．