Question

如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：

（1）∠DCF+∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S_△BEC=2S_△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°．

其中一定成立的是_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer

（1）（2）（4）

【解析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出（1）正确；

由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出（2）正确；

证出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出（3）错误；

由平行线的性质和互余两角的关系得出（4）正确；即可得出结论．

（1）∵F是AD的中点，∴AF=FD．

∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．

∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，∴∠DCF+∠D=90°，故（1）正确；

（2）延长EF，交CD延长线于M，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．

∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，∵∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴EF=MF，∠AEF=∠M．

∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．

∵FM=EF，∴CF=EM=EF，∴∠FEC=∠ECF，

∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故（2）正确；

（3）∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．

∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故（3）错误；

（4）∵∠B=80°，∴∠BCE=90°﹣80°=10°．

∵AB∥CD，∴∠BCD=180°﹣80°=100°，∴∠BCF=∠BCD=50°，∴∠FEC=∠ECF=50°﹣10°=40°，∴∠AEF=90°﹣40°=50°，故（4）正确．

故答案为：（1）（2）（4）．