Question

如图，直角坐标系xOy中，直线1₁：y＝tx﹣t（t≠0）分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线l₂：y＝（k≠0）交于点D（2，2），点B，C关于x轴对称，连接AC，将Rt△AOC沿AD方向平移，使点A移动到点D，得到Rt△DEF．

（1）写出k的值，点A的坐标；

（2）点F是否在l₂上，并验证你的结论；

（3）在ED的延长线上取一点M（4，2），过点M作MN∥y轴，交l₂于点N，连接ND，求直线ND的解析式；

（4）直接写出线段AC扫过的面积．

Answer

（1）k＝4，A（1，0）；（2）点F在l2上；（3）y＝﹣x+3；（4）线段AC扫过的面积等于平行四边形ACFD的面积＝4．

【解析】

（1）利用待定系数法和x轴上点的坐标特征即可得出结论；

（2）先确定出点B的坐标，进而得出点C的坐标，利用平移求出点F的坐标，判断即可；

（3）先确定出点N的坐标，利用待定系数法即可得出结论；

（4）先判断出AC扫过的部分是平行四边形ACFD，再判断出点C，D，E在一条直线上，A，E，F也在同一条直线上，即可结论．

（1）∵点D（2，2）在双曲线l2：y＝（k≠0）上，

∴2＝，

∴k＝4

点D（2，2）在直线11：y＝tx﹣t（t≠0）上，

∴2t﹣t＝2，

∴t＝2，

∴直线11：y＝2x﹣2

令y＝0，

∴2x﹣2＝0，

∴x＝1，

∴A（1，0），

故答案为：4，（1，0）；

（2）点F在l2上，

由（1）知，直线l1：y＝2x﹣2，

∴点B（0，﹣2），

∵点B，C关于x轴对称，

∴C（0，2），

又平移后，DE＝AO＝1，EF＝CO＝2，

∴点E（1，2），则F（1，4）

∵双曲线l2的解析式为：y＝，

∴点F（1，4）的坐标满足解析式y＝，故点F在l2上；

（3）∵M（4，2），MN∥y轴，交l2于点N，

∴点N的横坐标等于4，且在y＝上，

∴N（4，1），

又D（2，2），

设直线ND的解析式为y＝ax+b（其中a，b为常数，且a≠0），

则 ，解得 ，

∴直线ND的解析式为：y＝﹣x+3；

（4）如图，连接CF，CE，AE，

由平移知，AC扫过的部分是平行四边形ACFD，

由（1）知，C（0，2），E（1，2），

∵D（2，2），

∴点C，D，E在一条直线上，

同理A，E，F也在同一条直线上，

由平移知，EF⊥DE，

∵F（1，4），

∴AF＝4，

∵CD＝2，

∴线段AC扫过的面积等于平行四边形ACFD的面积＝×CD×AF＝4．