Question

某服装批发商店销售一款运动鞋，进价为40元/双，售价为100元/双，商店为了促销，规定凡是一次性购买10双以上的运动鞋，每双买1双，每双运动鞋的售价就减少2元，但是售价最低不能低于70元/双，设一次性购买x双运动鞋（x＞10）．

（1）若x＝15，则售价应是多少元/双；

（2）若以最低售价购买这款运动鞋，求x的值；

（3）当x＞10时，求服装批发商店销售运动鞋获得的总利润y（元）与购买数量x（双）之间的函数关系式（利润＝售价﹣进价）

（4）一天，顾客甲购买了19双运动鞋，顾客乙购买了23双运动鞋，该商店发现卖给顾客乙23双反而比卖给顾客甲19双所获得的总利润少，在促销条件不变的情况下，为了使每次卖的越多总利润也越多，最低售价应调整到多少元/双？并说明理由．

Answer

（1）售价为90元/双；（2）x＝25；（3）当10＜x≤25时，y＝﹣2x2+80x，当x＞25时，y＝30x；（4）最低售价应调整到80元/双，才会使每次卖的越多总利润也越多．

【解析】

（1）根据题意超过10双时，售价＝原售价﹣2×（购买数量﹣10）据此可得；

（2）根据以上相等关系列出方程100﹣2（x﹣10）＝70，解之可得；

（3）分10＜x≤25、x＞25两种情况，根据“总利润＝每双利润×销售数量”列出函数解析式；

（4）将（3）中二次函数配方成顶点式，利用二次函数的性质求出递增时x的值，据此再结合一次函数性质验证即可得．

（1）当x＝15时，售价为100﹣2（15﹣10）＝90（元/双）；

（2）由题意，得100﹣2（x﹣10）＝70，

解得：x＝25．

（3）当10＜x≤25时，

由题意，得：y＝x[100﹣2（x﹣10）﹣40]＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，

当x＞25时，

由题意，得：y＝（70﹣40）x＝30x；

（4）由（3）的解答过程可知，对于y＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，

由二次函数的图象可知，此抛物线开口向下，对称轴为x＝20，

若使每次卖的越多总利润也越多，即在对称轴左侧，y随x的增大而增大，

∴x≤20，则最低售价应为100﹣2×（20﹣10）＝80（元/双）．

当x＞20时，则有y＝（80﹣40）x＝40x，

∵40＞0，

∴y随x的增大而增大，即卖的越多总利润也越多．

综上，最低售价应调整到80元/双，才会使每次卖的越多总利润也越多．