Question

已知在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8．

（1）如图1，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，求FO的长，∠FEO的度数；

（2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则

①求点P运动的路径长是多少？

②MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）在（2）中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路经长．

Answer

（1）OF＝4，∠FEO＝60°，（2）①点P运动的路径长为；②MN＝4，是定值；（3）点D运动的路经长为．

【解析】

（1）先求出∠AOE，即可得出结论；

（2）①当点M与点O重合时，∠PMB＝30°，当点N与点O重合时，∠PNA＝30°，进而求出点P运动路径所对的圆心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，最后用弧长公式即可得出结论；

②先判断出点P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上，进而求出MK＝2，即可得出结论；

（3）先判断出三角形PMN的外接圆的圆心的运动轨迹，最后根据弧长公式即可得出结论．

（1）∵OE⊥OB，

∴∠BOE＝90°，

∵∠AOB＝120°，

∴∠AOE＝30°，

∵EF⊥OA，

∴∠EFO＝90°，

在Rt△EFO中，OE＝OB＝8．

∴OF＝OE•cos30°＝4，∠FEO＝90°﹣30°＝60°，

故答案为：4，60；

（2）①点P在弧AB上运动，其路径也是一段弧，由题意可知，

当点M与点O重合时，∠PMB＝30°，

当点N与点O重合时，∠PNA＝30°，

∴点P运动路径所对的圆心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴点P运动的路径长＝；

②是定值；

如图1，连接PO，取PO的中点H，连接MH，NH，

∵在Rt△PMO和Rt△PNO中，点H是斜边PO的中点，

∴MH＝NH＝PH＝OH＝PO＝4，

∴根据圆的定义可知，点P，M，O，N四点均在同一个圆，即⊙H上，

又∵∠MON＝120°，∠PMO＝∠PNO＝90°，

∴∠MPN＝60°，∠MHN＝2∠MPN＝120°，

过点H作HK⊥MN，垂足为点K，

由垂径定理得，MK＝KN＝MN，

∴在Rt△HMK中，∠MHK＝60°，MH＝4，则MK＝2，

∴MN＝2MK＝4，是定值．

（3）由（2）知，点P，M，O，N四点共圆，

∴H是△PMN的外接圆的圆心，

即：点H和点D重合，

∴OD＝PD，

∴点D是以点O为圆心OP＝4为半径，

∵点P运动路径所对的圆心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴点D运动路径所对的圆心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴点D运动的路经长为．