Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点N为BC边上的一点，且BN＝n（n＞0），动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿AB边向点B运动，连接NP，作射线PM⊥NP交AD于点M，设点P运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点M与点A重合时，t等于多少秒，当点M与点D重合时，n等于多少（用含字母t的代数式表示）

（2）若n＝2，则

①在点P运动过程中，点M是否可以到达线段AD的延长线上？通过计算说明理由；

②连接ND，当t为何值时，ND∥PM？

（3）过点N作NK∥AB，交AD于点K，若在点P运动过程中，点K与点M不会重合，直接写出n的取值范围．

Answer

（1）t＝4秒，点M与点A重合；n＝﹣，（2）①点M不能到达线段AD的延长线上，理由见解析；②当t＝秒时，ND∥PM，（3）2＜n≤3．

【解析】

（1）当点M与点A重合时，如图1，AP＝AP＝4，可得t＝4，当点M与点D重合时，如图2，利用三角形相似列比例式可得n的式子；

（2）①如图3，根据△AMP∽△BPN，列比例式，可得AM＝t（4﹣t）＝＝﹣（t﹣2）2+2，当t＝2时，AM取得最大值为2，此时点M在线段AD上；

②如图4，作辅助线构建平行线，证明△PMA∽△NDQ，则，列方程可得t的值；

（3）根据图4，点Q即为本题中的点K，由（2）①的解答过程可知，△AMP∽△BPN，则，当点K与点M重合时，则有AM＝AK＝BN＝n，列方程t2﹣4t+n2＝0，无解可得n的取值．

（1）当点M与点A重合时，P与B重合，N与C重合，如图1，

∴PA＝AB＝4，

∴t＝4，

即t＝4秒，点M与点A重合；

当点M与点D重合时，如图2，

∵∠DPN＝90°，

∴∠APD+∠BPN＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝90°，

∴∠ADP+∠APD＝90°，

∴∠BPN＝∠ADP，

∴△DAP∽△PBN，

，

，

故答案为：4，；

（2）①不能；

如图3，同理得：△AMP∽△BPN．

∴，

即，

∴AM＝t（4﹣t）＝，

显然，AM是关于t的二次函数，当t＝2时，AM取得最大值为2，此时点M在线段AD上，所以点M不能到达线段AD的延长线上．

②如图4，过点N作NQ∥AB，交AD于点Q，

∴∠PAM＝∠NQD＝90°，

当ND∥PM时，有∠PMA＝∠NDQ，

∴△PMA∽△NDQ，

∴，

而PA＝t，NQ＝4，MA＝，DQ＝3﹣2＝1，

代入得，，即2t2﹣t＝0，解得，t1＝0（舍去），t2＝．

∴当t＝秒时，ND∥PM．

（3）2＜n≤3．

理由是：如图4，点Q即为本题中的点K，由（2）①的解答过程可知，

∴△AMP∽△BPN．

∴，即，

当点K与点M重合时，则有AM＝AK＝BN＝n，

∴，化简得，t2﹣4t+n2＝0，

依题意，不存在点K与点M重合的时刻t，即关于t的一元二次方程t2﹣4t+n2＝0无解，

∴△＜0，即（﹣4）2﹣4×1×n2＜0，n2＞4，

∵n＞0，

∴n＞2，

综上，2＜n≤3．