Question

（2015秋•丹江口市期末）（1）如图1，已知，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，EG、EH分别平分∠AEF、∠BEF交CD于G、H，则EG与EH的位置关系是      ，∠EGH与∠EHG关系是      ；

（2）如图2，已知：AB∥CD∥EF，BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，求证：BE⊥ED．

Answer

（1）垂直，互余；（2）见解析

【解析】

试题（1）根据角平分线定义得出∠GEF=∠AEF，∠HEF=∠BEF，求出∠GEF+∠HEF=90°，即可得出答案；

（2）根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC=180°，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABD，∠CDE=∠BDC，根据平行线的性质得出∠ABE=∠BEF，∠FED=∠CDE，求出∠BED=90°即可．

（1）【解析】
EG与EH垂直，∠EGH与∠EHG互余，

理由是：∵EG、EH分别平分∠AEF、∠BEF，

∴∠GEF=∠AEF，∠HEF=∠BEF，

∵∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠GEF+∠HEF=90°，

∴EG与EH垂直，∠EGH与∠EHG互余，

故答案为：垂直，互余；

（2）证明：∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠BDC=180°，

又∵BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，

∴∠ABE=∠ABD，∠CDE=∠BDC，

∵AB∥CD∥EF，

∴∠ABE=∠BEF，∠FED=∠CDE，

∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠ABE+∠CDE=∠ABD+∠BDC

=（∠ABD+∠BDC）

=×180°=90°，

∴BE⊥ED．