Question

如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F．

求证：EF与圆O相切．

Answer

证明见解析.

【解析】

试题连接OD，作出辅助线，只要证明OD⊥EF即可，根据题目中的条件可知，∠FOD与∠FAD的关系，由AD平分∠CAB，可知∠EAF与∠FAD之间的关系，又因为AE⊥EF，从而可以推出OD垂直EF，本题得以解决．

试题解析：连接OD，如右图所示，

∵∠FOD=2∠BAD，AD平分∠CAB，

∴∠EAF=2∠BAD，

∴∠EAF=∠FOD，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠EAF+∠EFA=90°，

∴∠DFO+∠DOF=90°，

∴∠ODF=90°，

∴OD⊥EF，

即EF与圆O相切．