Question

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是（　　）

①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC

②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC

③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点

④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB．

A. 3个 B. 4个 C. 1个 D. 2个

Answer

A

【解析】

①由DE⊥AC，BF⊥AC，可得DE∥BF，又由四边形ABCD是平行四边形，利用△ACD与△ACB的面积相等，即可判定DE=BF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFDE是平行四边形；
②由四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易证得△ADE≌△CBF，则可判定DE∥BF，DE=BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形；
③由四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，F是CD的中点，易证得DF∥BE，DF=BE，继而证得四边形BFDE是平行四边形；
④无法确定DF=BE，只能证得DF∥BE，故不能判定四边形BFDE是平行四边形．

【解析】
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ACD=S△ABC，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，S△ACD=AC•DE，S△ABC=AC•BF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；

②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，AD=CB，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，

，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE=BF，∠AED=∠BFC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；

③证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB的中点，F是CD的中点，
∴DF=CD，BE=AB，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形；

④∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB上一点，EF⊥AB，
无法判定DF=BE，
∴四边形BFDE不一定是平行四边形．
故选：A．