Question

在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax²﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求点A，B的坐标；

（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM．

①求二次函数解析式；

②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值；

③若直线x=4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将图象P沿直线x=4翻折，得到图象Q，又过点（10，﹣4）的直线y=kx+b与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．

Answer

（1）A（﹣1，0）、B（3，0）；（2）①y=x2﹣2x﹣3；②t值为0或4；③﹣1≤b＜11或b=﹣4．

【解析】

（1）令y＝0，即：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x＝﹣1或3，即可求解；

（2）①DM＝2AM＝4，即点D的坐标为（1，﹣4），将点D的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

②分x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可；

③如下图所示，直线m、l、n都是直线y＝kx+b与图象P、Q都相交，且只有两个交点的临界点，即可求解．

【解析】
（1）令y=0，即：ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x=﹣1或3，

即点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），函数的对称轴

（2）①DM=2AM=4，即点D的坐标为（1，﹣4），

将点D的坐标代入二次函数表达式得：

﹣4=a﹣2a﹣3a，解得：a=1，即函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；

②当x=t和x=t﹣2在对称轴右侧时，函数在x=t处，取得最大值，

即：t2﹣2t﹣3=5，解得：t=﹣2或4（舍去t=﹣2），即t=4；

同理当x=t和x=t﹣2在对称轴左侧或两侧时，解得：t=0，

故：t值为0或4；

③如下图所示，直线m、l、n都是直线y=kx+b与图象P、Q都相交，且只有两个交点的临界点，

点E、R、C'坐标分别为（4，5）、（10，﹣4）、（8，﹣3），直线l的表达式：把点E、R的坐标代入直线y=kx+b得：

解得：

同理可得直线m的表达式为：

直线n的表达式为：y=﹣4，故：b的取值范围为：﹣1≤b＜11或b=﹣4．