Question

如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC＝2PQ，则tan∠B的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

Answer

C

【解析】

设⊙O的半径是R，PE=PF=x，BQ=y，连接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD=CD=CE=OE=GQ=QF=R，求出y=2R，x=R，根据锐角三角函数值求出即可．

【解析】

设⊙O的半径是R，PE=PF=x，BQ=y，
连接OD，OG，OF，OE，
∵⊙O内切于Rt△ABC，
∴∠ODC=∠OEC=90°=∠C，AD=AG，
∵OD=OE，
∴四边形CDOE是正方形，
∴OD=CD=CE=OE=R，
同理OG=GQ=FQ=OF=R，
则PQ=CP，AC=AQ，
∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠PQB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA，

根据BG=BE得：y+R=2y-R，
解得：y=2R，
在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2=BP2，
即（2R）2+（R+x）2=（4R-R-x）2，

解得：，

即PQ=，BQ=2R.

tanB=.