Question

若关于x的一元二次方程x²+（2k﹣1）x+k²=0的两根a、b满足a²﹣b²=0，双曲线 （x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C（如图），则S_△OBC为（　　）

A. 3    B.     C. 6    D. 3或

Answer

B

【解析】

首先由一元二次方程根的判别式得出k的取值范围,然后由a2﹣b2=0得出a+b=0或a-b=0,再运用一元二次方程根与系数的关系求出k的值,由k的几何意义,可知S△OBA= .如果过D作DE⊥OA于E,则S△OCA= .易证△ODE∽△OBA,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,得出S△OBA,最后由S△OBC=S△OBA-S△OCA,得出结果.

∵x2+（2k-1）x+k2=0有两根，

∴△=（2k-1）2-4k2≥0，

即k≤．

由a2﹣b2=0得：（a-b）（a+b）=0．

当a+b=0时，-（2k-1）=0，解得k=，不合题意，舍去；

当a-b=0时，a=b，△=（2k-1）2-4k2=0，

解得：k=符合题意．

∵，

∴双曲线的解析式为：．

过D作DE⊥OA于E，则S△ODE=S△OCA=×1=．

∵DE⊥OA，BA⊥OA，

∴DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，

∴，∴S△OBA=4×=2，

∴S△OBC=S△OBA-S△OCA=2-=．

故选B.