Question

如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点．

（1）求证：四边形为正方形；

（2）若，，求的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由折叠的性质可得到的条件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，由AG=AF可证得四边形AGHF是正方形；
（2）设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x（即正方形的边长为x），BG=BD=6，CF=CD=4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长，进而可求出AB的长．

【解析】
（1），

；

由折叠可知，，，，，

；

；

四边形是正方形，

（2）四边形是正方形，

，

又，，；

设的长为，则，．

在中，，

，

解得，（不合题意，舍去），

，

．