Question

在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．

（1）点是直线下方抛物线上一点，当面积最大时，为轴上一动点，为轴上一动点，记的最小值为，请求出此时点的坐标及；

（2）在（1）的条件下，连接交轴于点，将抛物线沿射线平移，平移后的抛物线记为，当经过点时，将抛物线位于轴下方部分沿轴翻折，翻折后所得的曲线记为，点为曲线的顶点，将沿直线平移，得到，在平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），；（2）当或时，存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形．

【解析】

（1）如图1中，设，作PF∥y轴交BC于点F．构建二次函数求出点P坐标，如图2中，在y轴的正半轴上取一点G，连接BG，使得∠GBO=30°，作点P关于y轴的对称点H，作HF⊥BG交y轴于M，交x轴于N．由FN=BN，推出PM+MN+BN=HM+MN+NF，根据垂线段最短可知，此时PM+MN+BN的值最短，求出H，F的坐标即可解决问题．
（2）想办法求出R，D′的坐标，分两种情形分别构建方程解决问题即可．

（1）如图1中，设，作轴交于点．

图1

由题意，，，

直线的解析式为，

，

，

，

，

时，的面积最大，此时，

如图2中，在轴的正半轴上取一点，连接，使得，作点关于轴的对称点，作交轴于，交轴于．

图2

，

，根据垂线段最短可知，此时的值最短．

直线的解析式为，，，

直线的解析式为，

由，解得，

，

．

（2）如图3中，

图3

由题意直线的解析式为，

，

，

直线的解析式为，设，

原抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线经过点，此时顶点，翻折后的顶点，

，

由题意可知当时，存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，

，

解得，

当点在线段的垂直平分线上时，存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，则有： ，

．

综上所述，当或时，存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形．