Question

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE.其中，正确的有（    ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】试题分析:①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=，DF=，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．

【解析】
如图所示：连接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ED=DF．

∴①正确．

②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD=30°．

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°．

∵∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴ED=AD．

同理：DF=．

∴DE+DF=AD．

∴②正确．

③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．

假设MD平分∠ADF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，

又∵∠E=∠BMD=90°，

∴∠EBM=90°．

∴∠ABC=90°．

∵∠ABC是否等于90°不知道，

∴不能判定MD平分∠ADF．

故③错误．

④∵DM是BC的垂直平分线，

∴DB=DC．

在Rt△BED和Rt△CFD中，

∴Rt△BED≌Rt△CFD．

∴BE=FC．

∴AB+AC=AE﹣BE+AF+FC

又∵AE=AF，BE=FC，

∴AB+AC=2AE．

故④正确．

故选：C．