Question

如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA₁B₁，第二次将三角形OA₁B₁变换成三角形OA₂B₂，第三次将三角形OA₂B₂变换成三角形OA₃B₃……已知A(1，3)，A₁(2，3)，A₂(3，3)，A₃(4，3)，B(2，0)，B₁(4，0)，B₂(8，0)，B₃(16，0).

(1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将三角形OA₃B₃变换成三角形OA₄B₄，则A₄的坐标是_________，B₄的坐标是_________ ；

(2)若按第(1)题的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA_nB_n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：A_n的坐标是_________，B_n的坐标是_________.

Answer

（1）（16，3），（32，0），（2）（2n，3），（2n+1，0）．

【解析】

本题主要考查了平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，x轴上所有点的纵坐标为0．（1）对于A1，A2，An坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现An的横坐标为2n，而纵坐标都是3，同理B1，B2，Bn也一样找规律．

（2）根据第一问得出的A4的坐标和B4的坐标，再此基础上总结规律即可知A的坐标是（2n，3），B的坐标是（2n+1，0）．

【解析】
（1）因为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）…纵坐标不变为3，

同时横坐标都和2有关，为2n，那么A4（16，3）；

因为B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…纵坐标不变，为0，

同时横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B4（32，0）；

（2）由上题第一问规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，

∴A的坐标是（2n，3），B的坐标是（2n+1，0）．