Question

如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km，B厂距离河边BD=1km，经测量CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．

（1）设ED=x，请用x的代数式表示AE+BE的长；

（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？

（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？

Answer

（1）AE+BE=；（2）此时最少需要管道10km；（3）最小值为13．

【解析】

（1）由ED=x，AC⊥CD、BD⊥CD，根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长；（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长即可；（3）根据AE+BE=+=AB=10；即可猜想所求代数式的值．

（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE=，BE=，

∴AE+BE=+；

（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．

过点B作BF⊥AC于F，则有BF=CD=8，BD=CF=1．

∴AF=AC+CF=6．

在Rt△ABF中，BA===10，

∴此时最少需要管道10km．

（3）根据以上推理，设ED=x．AC=3，DB=2，CD=12．

∴当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值．

当A、E、B共线时+==13，即其最小值为13．