Question

在等边中，点D在线段AC上，E为BC延长线上一点，且，连接BD，连接AE．

如图1，若，，求线段AD的长；

如图2，若F是线段BD的中点，连接AF，若，求证：．

Answer

(1) ;(2)见解析

【解析】

（1）过点B作BM⊥AD于点G,根据等边三角形的性质，求出AM=3，BM=在Rt△AMB中，根据，求出MD的长度，即可求出线段AD的长；

（2）延长AF至点N使得FN=AF，连接BN，先证明出△ADF≌△NBF，得出DA=BN，∠DAF=∠N，进而得出∠N=∠E，再用AAS判断出△ABN≌△ACE即可得出结论；

(1) 过点B作BM⊥AD于点G

∵△ABC是等边三角形,

∴AM=3，BM=

在Rt△AMB中，

∴MD=

∴AD=AM+MD=

(2) 延长AF至点N使得FN=AF，连接BN

∵ F是BD的中点

∴BF=DF

在△ADF和△NBF中：

,

∴△ADF≌△NBF（SAS），

∴DA=BN，∠DAF=∠N

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°

∵∠EAF=60°，

∴∠BAF=∠DAE

∵∠EAF=∠EAC+∠DAF=60°，∠ACD=∠EAC+∠E=60°，

∴∠DAF=∠E，

∴∠N=∠E

在△ABN和△ACE中：

,

∴△ABN≌△ACE（AAS），∴BN=CE，∴AD=DC，∴BD⊥AC，∴BD=