Question

如图所示，AB 是⊙O 的直径，P 为 AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点 C，AD⊥PC， 垂足为 D，弦 CE 平分∠ACB，交 AB 于点 F，连接 AE．

（1）求证：PC=PF；

（2）若 tan∠ABC=，AE=5，求线段 PC 的长．

Answer

（1）见解析；(2)PC=12．

【解析】（1）由切线得：OC⊥PC，再得平行，由同圆的半径相等：OA=OC，根据等边对等角可得结论；

（2）证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边可得结论；

（3）根据三角函数的比设未知数，利用勾股定理列方程可得结论．

（1）证明：∵PC 为⊙O 的切线，

∴OC⊥PC，

∵AD⊥PC，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC 平分∠DAB；

∵CE 平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∴，

∴∠ABE=∠ECB，

∵∠BCP+∠OCB=∠BCP+∠OBC=∠BAC+∠OBC=90°，

∴∠BCP=∠BAC，

∵∠BAC=∠BEC，

∴∠BCP=∠BEC，

∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，∠PCF=∠ECB+∠BCP，

∴∠PFC=∠PCF，

∴PC=PF；

（2）∵，

∴AE=BE=5，

又∵AB 是直径，

∴∠AEB=90°，

AB=BE=10，

∴OB=OC=5，

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAC，

∴，

∵tan∠ABC=，

∴.

设 PB=2x，则 PC=3x，

在 Rt△POC 中，（2x+5）2=（3x）2+52， 解得 x1=0（舍）x2=4，

∵x＞0，

∴x=4，

∴PC=3x=3×4=12．