Question

矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E．

（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；

（2）连接EF，求∠EFC的正切值；

（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．

Answer

（1）E（2，3）；（2）；（3）.

【解析】（1）先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论；

（2）先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CF，即可得出结论；

（3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论．

（1）∵OA=3，OB=4，

∴B（4，0），C（4，3），

∵F是BC的中点，

∴F（4，），

∵F在反比例y=函数图象上，

∴k=4×=6，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵E点的坐标为3，

∴E（2，3）；

（2）∵F点的横坐标为4，

∴F（4，），

∴CF=BC﹣BF=3﹣=

∵E的纵坐标为3，

∴E（，3），

∴CE=AC﹣AE=4﹣=，

在Rt△CEF中，tan∠EFC=，

（3）如图，由（2）知，CF=，CE=，，

过点E作EH⊥OB于H，

∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，

∴∠EGH+∠HEG=90°，

由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，

∴∠EGH+∠BGF=90°，

∴∠HEG=∠BGF，

∵∠EHG=∠GBF=90°，

∴△EHG∽△GBF，

∴，

∴，

∴BG=，

在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2，

∴（）2﹣（）2=，

∴k=，

∴反比例函数解析式为y=．