Question

已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．

（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE＝OG；

（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE＝OG，

①求证：∠ODG＝∠OCE；

②当AB＝1时，求HC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②HC=．

【解析】

（1）要证明OE=OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；
（2）①要证明∠ODG=∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；
②设CH=x，由△CHE∽△DCH，可得=，即HC2=EH•CD，由此构建方程即可解决问题；

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OD=OC，

∴∠DOG=∠COE=90°，

∴∠OEC+∠OCE=90°，

∵DF⊥CE，

∴∠OEC+∠ODG=90°，

∴∠ODG=∠OCE，

∴△DOG≌△COE（ASA），

∴OE=OG．

（2）①证明：如图2中，

∵AC，BD为对角线，

∴OD=OC，

∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°，

∴△ODG≌△OCE，

∴∠ODG=∠OCE．

②【解析】
设CH=x，

∵四边形ABCD是正方形，AB=1，

∴BH=1-x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，

∵EH⊥BC，

∴∠BEH=∠EBH=45°，

∴EH=BH=1-x，

∵∠ODG=∠OCE，

∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE，

∴∠HDC=∠ECH，

∵EH⊥BC，

∴∠EHC=∠HCD=90°，

∴△CHE∽△DCH，

∴=，

∴HC2=EH•CD，

∴x2=（1-x）•1，

解得x=或（舍弃），

∴HC=．