Question

如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．

（1）求证：△AEF≌△DCE．

（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）6cm.

【解析】

（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．
（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.

（1）证明：∵EF⊥CE，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，

∴∠AEF=∠ECD．

在Rt△AEF和Rt△DEC中，

∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．

∴△AEF≌△DCE．

（2）【解析】
∵△AEF≌△DCE．

AE=CD．

AD=AE+4．

∵矩形ABCD的周长为32cm，

∴2（AE+AE+4）=32．

解得，AE=6（cm）．

答：AE的长为6cm．