Question

已知关于x的一元二次方程ax²+x+2=0．

（1）求证：当a＜0时，方程ax²+x+2=0一定有两个不等的实数根；

（2）若代数式﹣x²+x+2的值为正整数，且x为整数时，求x的值；

（3）当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）；若点M在点N的左边，试比较a₁与a₂的大小．

Answer

（1）见解析；（2）x的值是0或1；（3）a1＜a2.

【解析】

（1）求出b2﹣4ac的值，根据正负即可判断；

（2）求出原式=﹣（x2﹣x﹣2）的范围确定其整数为1或2，算出﹣x2+x+2=1和﹣x2+x+2=2的解即可；

（3）把a=a1，a=a1代入求出其值，求出a1﹣a2的值即可．

（1）△=1﹣8a．

∵a＜0，∴﹣8a＞0即：△＞0，∴方程ax2+x+2=0一定有两个不等的实数根．

（2）原式=﹣（x2﹣x﹣2）=

∵不论x为何值，﹣（x）2≤0，∴原式=﹣（x）2．

∵代数式﹣x2+x+2的值为正整数，∴代数式﹣x2+x+2的值为1或2．

①当﹣x2+x+2=1时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；

②当﹣x2+x+2=2时，解得：x=0或1．

答：x的值是0或1．

（3）∵当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0），∴0=a1m2+m+2①．

∵当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0），∴0=a2n2+n+2②，∴，∴．

∵点M在点N的左边，且M、N均在x轴正半轴，∴m＞0，n＞0，m＜n，∴mn+2m+2n＞0，m﹣n＜0，m2n2＞0，∴a1﹣a2，∴a1＜a2．