Question

如图 1，射线 OC在∠AOB的内部，图中共有 3个角：∠AOB、∠AOC 和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 OC是∠AOB的奇妙线．

（1）一个角的角平分线_______这个角的奇妙线．（填是或不是）；

（2）如图 2，若∠MPN＝60°，射线 PQ绕点 P从 PN位置开始，以每秒 10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于 180°时停止旋转，设旋转的时间为 t（s）．

①    当 t为何值时，射线 PM是∠QPN 的奇妙线？

②若射线 PM 同时绕点 P以每秒 5°的速度逆时针旋转，并与 PQ同时停止旋转．请求出当射线 PQ是∠MPN的奇妙线时 t的值．   

Answer

(1)是；(2) ①当t的值是9或12或18时，射线 PM是∠QPN 的奇妙线；②当射线 PQ是∠MPN的奇妙线时 t的值为 或4或6．

【解析】

（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据奇妙线定义列方程求解即可；
②分3种情况，根据奇妙线定义列方程求解即可．

【解析】
(1) 一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；

(2) ①∠MPN=60，∠QPM=10t－60，∠QPN=10t(最大角)，

当∠MPN=2∠QPM时，60=2(10t－60)，解得t=9；

当∠QPN=2∠MPN时，10t =2×60，解得t=12；

当∠QPM=2∠MPN时，10t－60=2×60，解得t=18；

综上，当t的值是9或12或18时，射线 PM是∠QPN 的奇妙线．

②∠QPN=10t，∠QPM=60－10t+5t=60－5t，∠MPN=60+5t(最大角)，

当∠QPM=2∠QPN时， 60－5t =2×10t ，解得t=；

当∠MPN=2∠QPN时，60+5t =2×10t，解得t=4；

当∠QPN=2∠QPM时，10t =2×(60－5t)，解得t=6；

综上，当射线 PQ是∠MPN的奇妙线时 t的值为或4或6．

故答案为：(1)是；(2) ①当t的值是9或12或18时，射线 PM是∠QPN 的奇妙线；②当射线 PQ是∠MPN的奇妙线时 t的值为 或4或6．