Question

如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：

①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD＝CQ•CB．

其中正确的是_____（写出所有正确结论的序号）．

Answer

②③④

【解析】

①错误，假设成立，推出矛盾即可；
②正确．想办法证明∠GPD=∠GDP即可；
③正确．想办法证明PC=PQ=PA即可；
④正确．证明△APF∽△ABD，可得AP•AD=AF•AB，证明△ACF∽△ABC，可得AC2=AF•AB，证明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，由此即可解决问题；

：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则，
∵，
∴，显然不可能，故①错误．
②正确．连接OD．

∵GD是切线，
∴DG⊥OD，
∴∠GDP+∠ADO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD，
∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GD=GP，故②正确．
③正确．∵AB⊥CE，
∴ ，
∵，
∴，
∴∠CAD=∠ACE，
∴PC=PA，
∵AB是直径，
∴∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ=PA，
∵∠ACQ=90°，
∴点P是△ACQ的外心．故③正确．
④正确．连接BD．
∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴，
∴AP•AD=AF•AB，
∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，
∴△ACF∽△ABC，
可得AC2=AF•AB，
∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，
∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，
∴AP•AD=CQ•CB．故④正确，
故答案为②③④．