Question

如图，AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线。

（1）判断∠AOB与∠COD有怎样的数量关系，为什么？

（2）若∠AOD=∠BOC，AB、CD有怎样的位置关系，为什么？

Answer

（1）∠AOB+∠COD=180°，理由见解析；（2）AB∥CD，理由见解析

【解析】试题（1）本题考查的是角平分线的性质；（2）本题利用角平分线的性质和平行线的判定解决即可.

试题解析：

（1）∠AOB+∠COD=180°

因为：过点O分别作OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD,∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴OE=OF=OG=OH,∴∠AOH=∠AOE, ∠BOF=∠BOE, ∠COF=∠COG, ∠DOG=∠HOD,∴∠AOE+∠BOE+∠COG+∠DOG=∠AOH+∠BOF+ ∠COF+∠HOD，∴∠AOB+∠COD=180°；

（2）AB∥CD.

由（1）知∠AOB+∠COD=180°，∴∠COB+∠AOD=180°,∵∠AOD=∠BOC，∴∠AOD=90°，∴∠2+∠3=90°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴AB∥CD.