Question

Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.

（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=　   　°；

（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　   　；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.

 

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　　.

Answer

（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．

【解析】

试题（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；

（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；

（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；

（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．

试题（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，

∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，

∵∠C＝90°，∠α＝50°，

∴∠1＋∠2＝140°，

故答案为：140；

（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，

∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.

故答案为：∠1＋∠2＝90°＋∠α.

（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，

设DP与BE的交点为M，

∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，

∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.

（4）如图④，

设PE与AC的交点为F，

∵∠PFD＝∠EFC，

∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，

∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，

∴∠2＝90°＋∠1－∠α.

故答案为：∠2＝90°＋∠1－∠α