Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．

（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）当∠A＝30°，CF时，求⊙O的半径．

Answer

（1）结论：DF是⊙O的切线．理由见解析；（2）OE=1．

【解析】

（1）结论：DF是⊙O的切线．作OG⊥DF于G．连接OE．想办法证明OG=OE即可解决问题；

（2）由FA，FD是⊙O的切线，推出FG=FE，设FG=FE=x，由△OGD≌△DCF（AAS），推出DG=CF=，推出OD=DF=+x，由AC=2OD，CE=OD，推出AE=EC=OD=+x，由∠A=30°，推出CD=OE=，在Rt△DCF中，根据DF2=CD2+CF2，构建方程即可解决问题；

（1）结论：DF是⊙O的切线．

理由：作OG⊥DF于G．连接OE．

∵BD=DC，BO=OA，

∴OD∥AC，

∴∠ODG=∠DFC，

∵∠OGD=∠DCF=90°，OD=DF，

∴△OGD≌△DCF（AAS），

∴OG=CD，

∵AC是⊙O的切线，

∴OE⊥AC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴OE∥BC，

∵OD∥CD，

∴四边形CDOE是平行四边形，

∴CD=OE，

∴OG=OE，

∴DF是⊙O的切线．

（2）∵FA，FD是⊙O的切线，

∴FG=FE，设FG=FE=x，

∵△OGD≌△DCF（AAS），

∴DG=CF=，

∴OD=DF=+x，

∵AC=2OD，CE=OD，

∴AE=EC=OD=+x，

∵∠A=30°，

∴CD=OE=，

在Rt△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，

∴（+x）2=（）2+（）2，

解得x=-或--（舍弃），

∴OE==1．