Question

如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB=1，点C的坐标为（6，2），E是AD的中点；反比例函数y₁=（x＞0）图象经过点C和点E，过点B的直线y₂=ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4．

（1）求反比例函数的解析式和点E的坐标；

（2）求直线BF的解析式；

（3）直接写出y₁＞y₂时，自变量x的取值范围．

Answer

（1）y1=，E（4，3）；（2）y=2x﹣2；（3）0＜x＜3．

【解析】

（1）把C点的坐标代入，即可求出反比例函数的解析式，再求出E点的坐标即可；
（2）求出B、F的坐标，再求出解析式即可；
（3）先求出两函数的交点坐标，即可得出答案．

【解析】
（1）∵反比例函数y1=（x＞0）图象经过点C，C点的坐标为（6，2），

∴k=6×2=12，

即反比例函数的解析式是y1=，

∵矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB=1，点C的坐标为（6，2），

∴点E的纵坐标是2+1=3，

把y=3代入y1=得：x=4，

即点E的坐标为（4，3）；

（2）∵过点B的直线y2=ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4，

把y=4代入y1=得：4=，

解得：x=3，

即F点的坐标为（3，4），

∵E（4，3），C（6，2），E为矩形ABCD的边AD的中点，

∴AE=DE=6﹣4=2，

∴B点的横坐标为4﹣2=2，

即点B的坐标为（2，2），

把B、F点的坐标代入直线y2=ax+b得：，

解得：a=2，b=﹣2，

即直线BF的解析式是y=2x﹣2；

（3）∵反比例函数在第一象限，F（3，4），

∴当y1＞y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜3．