Question

如图，抛物线y＝ax²+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S_△COF：S_△CDF＝3：2时，求点D的坐标．

（3）如图2，点E的坐标为（0，-），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)点D的坐标为（1，4）或（2，3）；(3)点P坐标为：（，）或（，）．

【解析】

（1）OB=OC=3，则：B（3，0），C（0，-3），把B、C坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：y=-x2+2x+3；

（2）S△COF：S△CDF=3：2，则S△COF=S△COD，即：xD=xF，即可求解；

（3）分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE两种情况分别求解即可．

(1)OB＝OC＝3，则：B（3，0），C（0，﹣3），

把B、C坐标代入抛物线方程，

解得抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3；

(2)∵S△COF：S△CDF＝3：2，

∴S△COF＝S△COD，即：xD＝xF，

设：F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，

点F在直线BC上，

而BC所在的直线方程为：y＝﹣x+3，则F（3t，3﹣3t），

则：直线OF所在的直线方程为：y＝x＝x，

则点D（5t，5﹣5t），

把D点坐标代入①，解得：t＝或，

则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；

(3)①如图所示，当∠PEB＝2∠OBE＝2α时，

过点E作∠PEB的平分线交x轴于G点，PE交x轴于H点，

则：∠PEQ＝∠QEB＝∠ABE＝α，则∠HGE＝2α，

设：GB＝m，则：OG＝3﹣m，GE＝m，

在Rt△OGE中，由勾股定理得：EG2＝OG2+OE2，

即：m2＝（3﹣m）2+（）2，解得：m＝，

则：GE＝，OG＝，BE＝，

∵∠PEQ＝∠ABE＝α，∠EHG＝∠EHG，∴△HGE∽△HEB，

∴＝＝，设：GH＝x，HE＝4x，

在Rt△OHE中，OH＝OG﹣HG＝﹣x，OE＝，EH＝4x，

由勾股定理解得：x＝，则：OH＝，H（，0），

把E、H两点坐标代入一次函数表达式，

解得EH所在直线的表达式为：y＝x﹣，

将上式与①联立并解得：x＝，

则点P（，）；

②当∠PBE＝2∠OBE时，则∠PBO＝∠EBO，

BE所在直线的k值为，则BE所在直线的k值为﹣，

则：PB所在的直线方程为：y＝﹣x+3，

将上式与①联立，解得：x＝，（x＝0已舍去），

则点P（，），

故：点P坐标为：（，）或（，）．