Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．

（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；

（2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形；

（3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形；

（4）若AC＝CD，∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是正方形．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析.

【解析】

（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）根据矩形的判定定理即可得到结论；

（3）根据菱形的判定定理即可得到结论；

（4）根据正方形的判定定理即可得到结论．

（1）由已知得AD∥BC，AD＝BC，

∵M、N分别是AD和BC的中点，

∴

∵AM∥CN，AM＝CN，

∴四边形AMCN是平行四边形；

（2）∵AC＝CD，M是AD的中点，

∴∠AMC＝90°，

∵由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，

∴四边形AMCN是矩形；

（3）∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，

∴AM＝CM，

∵由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，

∴四边形AMCN是菱形；

（4）∵AC＝CD，M是AD的中点，

∴∠AMC＝90°，

∵由（1）知四边形AMCN是平行四边形，

∴四边形AMCN是矩形，

∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，

∴AM＝CM，

∴四边形AMCN是菱形，

∴四边形AMCN是正方形