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已知如图 1,在中,,,点在上,交于,点是的中点. (1)写出线段与线段的关系并...

已知如图 1,在中,,点上,,点的中点.

(1)写出线段与线段的关系并证明;

(2)如图,将绕点逆时针旋转,其它条件不变,线段与线段的关系是否变化,写出你的结论并证明;

(3) 绕点逆时针旋转一周,如果,直接写出线段的范围.

 

(1)结论:FD=FC,DF⊥CF;(2)结论不变.(3)≤BF≤3. 【解析】 (1)根据直角三角形的性质先找出相关角、边的关系,利用等量代换得到结果.(2)旋转前后,图形的性质是不变的,据此可以直接找到旋转前后边角的关系,从而证明结论(3)要使BF最长,只有点E落在AB上即可要使BF最短,只有点E落在AB的延长线即可. (1)结论:FD=FC,DF⊥CF. 理由:如图1中, ∵∠ADE=∠ACE=90°,AF=FE, ∴DF=AF=EF=CF, ∴∠FAD=∠FDA,∠FAC=∠FCA, ∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD,∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC, ∵CA=CB,∠ACB=90°, ∴∠BAC=45°, ∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+∠FAC)=90°, ∴DF=FC,DF⊥FC. (2)结论不变. 理由:如图2中,延长AC到M使得CM=CA,延长ED到N,使得DN=DE,连接BN、BM.EM、AN,延长ME交AN于H,交AB于O. ∵BC⊥AM,AC=CM, ∴BA=BM,同法BE=BN, ∵∠ABM=∠EBN=90°, ∴∠NBA=∠EBM, ∴△ABN≌△MBE, ∴AN=EM,∴∠BAN=∠BME, ∵AF=FE,AC=CM, ∴CF=EM,FC∥EM,同法FD=AN,FD∥AN, ∴FD=FC, ∵∠BME+∠BOM=90°,∠BOM=∠AOH, ∴∠BAN+∠AOH=90°, ∴∠AHO=90°, ∴AN⊥MH,FD⊥FC. (3)如图3中,当点E落在AB上时,BF的长最大,最大值=3 如图4中,当点E落在AB的延长线上时,BF的值最小,最小值=. 综上所述,≤BF≤3.
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某大学生创业团队抓住商机,购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售,每袋成本3元.试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示,其中3.5x5.5,另外每天还需支付其他各项费用80元.

销售单价x(元)

3.5

5.5

销售量y(袋)

280

120

 

1)请直接写出yx之间的函数关系式;

2)如果每天获得160元的利润,销售单价为多少元?

3)设每天的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少元?

 

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如图1,滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面为立柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为中点,.当点位于初始位置时,点重合(图2).根据生活经验,当太阳光线与垂直时,遮阳效果最佳.

(1)上午10:00时,太阳光线与地面的夹角为(图3),为使遮阳效果最佳,点需从上调多少距离?(结果精确到

(2)中午12:00时,太阳光线与地面垂直(图4),为使遮阳效果最佳,点在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到

(参考数据:

 

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如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DEBC于点E.

(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)过点DDFAB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.

 

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某校开展了以责任、感恩为主题的班队活动,活动结束后,初三(2)班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班学生中进行了调查(要求每位同学只选自己最认可的一项观点),并制成了如下扇形统计图,

1)该班有     人,学生选择和谐观点的有     人,在扇形统计图中,和谐观点所在扇形区域的圆心角是     度;

2)如果该校有360名初三学生,利用样本估计选择感恩观点的初三学生约有     人;

3)如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查,求恰好选到和谐感恩观点的概率(用树状图或列表法分析解答).

 

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已知:如图,在平行四边形ABCD中,MN分别是ADBC的中点.

1)求证:四边形AMCN是平行四边形;

2)若ACCD,求证四边形AMCN是矩形;

3)若∠ACD90°,求证四边形AMCN是菱形;

4)若ACCD,∠ACD90°,求证四边形AMCN是正方形.

 

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