Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，CF＝BF．

（1）求证：C是的中点；

（2）若CD＝4，AC＝8，则⊙O的半径为　   　．

Answer

（1）见解析；（2）2.

【解析】

（1）由AB是直径知∠CAB+∠CBE=90°，由CE⊥AB知∠ECB+∠CBE=90°，据此得∠CAB=∠ECB，由CF=BF知∠FCB=∠FBC，从而得∠CDB=∠FBC，即可得证；
（2）利用（1）中所得结论得出BC=CD=4，再根据勾股定理可求得AB的长，即可得出答案．

【解析】
（1）∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBE＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠ECB+∠CBE＝90°，

∴∠CAB＝∠ECB，

∵∠CAB＝∠CDB，

∴∠CDB＝∠ECB，

又∵CF＝BF，

∴∠FCB＝∠FBC，

∴∠CDB＝∠FBC，

∴圆弧CD ＝圆弧BC，

∴C是圆弧BD的中点；

（2）由（1）知C是圆弧BD的中点，

∴BC＝CD＝4，

∵∠ACB＝90°，

∴AB＝ ＝ ＝4 ，

∴⊙O的半径为2，

故答案为：（1）见解析；（2）2．