Question

已知m，n是关于x的一元二次方程x²﹣2tx+t²﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）

A. 7    B. 11    C. 12    D. 16

Answer

D

【解析】

由公式法推出根与系数的关系即m+n=2t、mn=t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．

∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，

∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，

∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．

∵方程有两个实数根，

∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，

∴t≥2，

∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．

故选D．