Question

如图，已知抛物线y＝ax²+x+4的对称轴是直线x＝3，且与轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与轴交于C点．

（1）求出A点的坐标、B点坐标；

（2）求出直线BC的解析式；

（3）点Q是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点Q，使△QBC的面积最大．若存在，请求出△QBC的最大面积，若不存在，试说明理由；

(4)若E在x轴上，点F在抛物线上，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E的坐标。

Answer

(1) A（﹣2，0），B（8，0）;(2) y＝﹣x+4;(3)见解析;(4) E的坐标为（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．

【解析】

（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，
（3）假设存在，设点Q的坐标为（x，-x2+x+4），过点Q作QD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，-x+4），QD=-x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△QBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（4）有四种情形，利用平行四边形的性质可得点F的纵坐标的绝对值为-4，求出等F的坐标即可解决问题；

【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，

∴﹣＝3，解得：a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．

当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，

解得：x1＝﹣2，x2＝8，

∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．

故答案为（﹣2，0），（8，0）．

（2）当x＝0时，y＝4，

∴点C的坐标为（0，4）．

设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．

将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，

，解得：

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．

故答案为y＝﹣x+4．

（3）假设存在，设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点Q作QD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．

∴QD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，

∴S△QBC＝QD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．

∵﹣1＜0，

∴当x＝4时，△QBC的面积最大，最大面积是16．

∵0＜x＜8，

∴存在点Q，使△QBC的面积最大，最大面积是16．

（4）满足条件的点E的坐标为（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．

如图，

当AC为平行四边形的边时，点N的纵坐标的绝对值为4，
可得F1（F2）（6，4），E2（4，0），
F3（3-，-4），F4（3+，-4），可得E3（5-，0），E4（5+，0），
当AC为对角线时，可得E1（-8，0），
综上所述，满足条件的点E的坐标为（-8，0），（4，0），（5+，0），（5-，0）．