Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．

（1）E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AC＝3CD，求∠A的大小．

Answer

（1）见解析；（2）∠A＝30°.

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠1，根据三角形的中位线的性质得到OE∥AD，从而得到∠2=∠3，然后证出△COE≌△BOE，根据全等三角形的性质得到∠OCE=∠ABD=90°，于是得到CE是⊙O的切线；
（2）由AB为⊙O的直径，得到BC⊥AD，根据相似三角形的性质得到BC2=AC•CD，再根据AC＝3CD，得到tanA=，于是得到结论．

【解析】
（1）连接OC，

∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠1，

∵AO＝OB，E为BD的中点，

∴OE∥AD，

∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，

∴∠2＝∠3，

在△COE与△BOE中， ，

∴△COE≌△BOE，

∴∠OCE＝∠ABD＝90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AB⊥BD，∴∠ABD＝∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠CBD=90°

∴∠A＝∠CBD，

∴△ABC∽△BDC，

∴，

∴BC2＝AC•CD，

∵AC＝3CD，

∴BC2＝AC2，

∴在R中，tanA＝，

∴∠A＝30°