Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AB交于点E，连接ED并延长交AC的延长线于点F．

（1）求证：AE=AF；

（2）若DE=3，sin∠BDE=，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）8．

【解析】

（1）根据切线的性质和平行线的性质解答即可；

（2）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．

（1）连接OD，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED．

∵直线BC为⊙O的切线，

∴OD⊥BC．

∴∠ODB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠F．

∴∠OED=∠F．

∴AE=AF；

（2）连接AD，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，

∵AE=AF，

∴DF=DE=3，

∵∠ACB=90°，

∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，

∴∠DAF=∠CDF=∠BDE，

在Rt△ADF中，=sin∠DAF=sin∠BDE=，

∴AF=3DF=9，

在Rt△CDF中，=sin∠CDF=sin∠BDE=，

∴CF=DF=1，

∴AC=AF﹣CF=8．