Question

如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x²+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．

（1）填空：b＝   ，c＝   ；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标。

Answer

（1），4；（2）不可能是直角三角形，见解析；（3）M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）

【解析】

(1)设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-4）．将a=-代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；
（2）先求得点C的坐标，依据勾股定理可求得AC=5，则PC=5-t，AQ=3+t,再判断当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°，从而得出AOCAPQ，得到比例式列方程求解即可；

(3)根据点M在抛物线上，设出点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），再根据△AOM的面积与△AOC的面积相等，从而得出﹣m2+m+4=，解方程即可．

【解析】
（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a＝﹣代入得：y＝﹣x2+x+4，

∴b＝，c＝4．

（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．

理由如下：∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，

∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°．

将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，

∴C（0，4）．∵点A的坐标为（﹣3，0），

∴在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，

∵AP＝OQ＝t，∴AQ=3+t，

∵∠OAC＝∠PAQ，∠APQ＝∠AOC

∴AOCAPQ

∴AP:AO=AQ:AC

∴= ∴t=4.5．

∵由题意可知：0≤t≤4，

∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．

(3 )设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4）

∵△AOM的面积与△AOC的面积相等，且底都为AO，C（0，4）．

∴﹣m2+m+4=

当﹣m2+m+4=-4时，解得：m=或,

当﹣m2+m+4=4时，解得：m=1或0

∵当m=0时，与C重合，∴m=或或1

∴ M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）