Question

如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．

（1）填空：点的坐标为　   　，抛物线的解析式为　   　；

（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），

①当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；

②求出使为直角三角形时的值；

（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．

Answer

（1），；

（2）①当时，有最大值是3； ②使为直角三角形时的值为3或；

（3）点，，，构成的四边形的面积为：6或或.

【解析】

（1）把点A坐标代入直线表达式y＝，求出a＝−3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）①设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三种情况，求解即可；

（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．

【解析】
（1）把点坐标代入直线表达式，

解得：，则：直线表达式为：，令，则：，

则点坐标为，

将点的坐标代入二次函数表达式得：，

把点的坐标代入二次函数表达式得：，

解得：，

故：抛物线的解析式为：，

故：答案为：，；

（2）①∵在线段上，且轴，

∴点，，

∴，

∵，

∴抛物线开口向下，

∴当时，有最大值是3，

②当时，点的纵坐标为-3，

把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），

∴；

当时，∵，两直线垂直，其值相乘为-1，

设：直线的表达式为：，

把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，

将上式与抛物线的表达式联立并解得：或0（舍去），

当时，不合题意舍去，

故：使为直角三角形时的值为3或；

（3）∵，，

在中，，则：，，

∵轴，

∴，

若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，

则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.

当过点的直线与抛物线有一个交点，

点的坐标为，设：点坐标为：，

则：，过点作的平行线，

则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，

解得：过点直线表达式为：，

将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，

，

将代入上式并整理得：，

解得：，则点的坐标为，

则：点坐标为，则：，

∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，

即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，

直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：

，解得：，

则点、的横坐标分别为，，

作交直线于点，

则，

作轴，交轴于点，则：，，

，

则：，

同理：，

故：点，，，构成的四边形的面积为：6或或.