Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．

(1)求证：△PFA∽△ABE；

(2)若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；

(3)试求当x取何值时，以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点．

Answer

(1)证明见解析；(2)满足条件的x的值为2或5；(3)当x=4-或x=4+或8＜x≤4+2时，⊙D与线段AE只有一个公共点．

【解析】

（1）根据正方形的性质和PF⊥AE易证三角形相似.

（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；当∠PEF=∠AEB时，再结合△PFA∽△ABE，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．

（3）此题首先应针对点P的位置分为两种大情况：点P在AD边上时或当点P在AD的延长线上时．同时还要特别注意⊙D与线段AE只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段AE只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE外的情况即是x的取值范围．

(1)证明：∵正方形ABCD，

∴AD∥BC．

∴∠ABE＝90°．

∴∠PAF＝∠AEB．

又∵PF⊥AE，

∴∠PFA＝∠ABE＝90°．

∴△PFA∽△ABE．

(2)【解析】
情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB时，

则有PE∥AB

∴四边形ABEP为矩形．

∴PA＝EB＝2，即x＝2．

情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB时，

∵∠PAF＝∠AEB，

∴∠PEF＝∠PAF．

∴PE＝PA．

∵PF⊥AE，

∴点F为AE的中点．

∵===，

∴EF=AE=．

∵=，即=，

∴PE＝5，即x＝5．

∴满足条件的x的值为2或5．

(3)【解析】
如图，

作DH⊥AE，则⊙D与线段AE的距离d即为DH的长，可得d＝

当点P在AD边上时，⊙D的半径r＝DP＝4﹣x；

当点P在AD的延长线上时，⊙D的半径r＝DP＝x﹣4；

如图1时，⊙D与线段AE相切，此时d＝r，即=4-x，∴x=4-；

如图2时，⊙D与线段AE相切，此时d＝r，即=x-4，∴x=4+；

如图3时，DA=PD，则PA=x=2DA=8

如图4时，当PD＝ED时，

∵DE＝＝2，

∴PA＝PD+AD＝4+2，

∴当x=4-或x=4+或8＜x≤4+2时，⊙D与线段AE只有一个公共点．