如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；
(3)在(2)的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．
在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图1摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？
小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究．下面是小林的探究过程，请补充完整：
(1)画出几何图形，明确条件和探究对象；
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，D是线段AB上一动点，射线DE⊥BC于点E，∠EDF＝_____°，射线DF与射线AC交于点F．设B，E两点间的距离为xcm，E，F两点间的距离为ycm．
(2)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/cm | 6.9 | 5.3 | 4.0 | 3.3 | ____ | 4.5 | 6 |
(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)
(3)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(4)结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为_____cm．
如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．
(1)求证：△PFA∽△ABE；
(2)若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；
(3)试求当x取何值时，以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点．
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)
(1)画出△ABC关于原点对称的△A'B'C'；
(2)将△A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B″C″，并直接写出此过程中线段C'A'扫过图形的面积．(结果保留π)
某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为35元，经市场预测，包邮单价定为50元时，每周可售出200个，包邮单价每增加1元销售将减少10个，已知每成交一个，店主要承付5元的快递费用，设该店主包邮单价定为x(元)(x＞50)，每周获得的利润为y(元)．
(1)求该店主包邮单价定为53元时每周获得的利润；
(2)求y与x之间的函数关系式；
(3)该店主包邮单价定为多少元时，每周获得的利润最大？最大值是多少？
