Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+2x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F(异于点C)，直线CD交x轴交于点G．

(1)如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；

(2)如图1，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当△PCF的面积最大时，点M是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO的最小值；

(3)如图2，过点D作DI⊥DG交x轴于点I，将△GDI沿射线GB方向平移至△G′D′I′处，将△G′D′I′绕点D′逆时针旋转α(0＜α＜180°)，当旋转到一定度数时，点G′会与点I重合，记旋转过程中的△G′D′I′为△G″D′I″，若在整个旋转过程中，直线G″I″分别交x轴和直线GD′于点K、L两点，是否存在这样的K、L，使△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形？若存在，求此时GL的长．

Answer

(1) D(2，)；y＝x﹣；(2)；(3)存在，GL的长为4或2+2．

【解析】

（1）根据抛物线解析式求得点C和点D的坐标，再根据抛物线对称轴求得点E的坐标，运用待定系数法求得CE的解析式.

（2）根据题意求得F点的坐标，过P作PH⊥x轴，交CE于H， 设P(a，﹣a2+2a﹣) 则H(a，a﹣)，将PH和△PCF的面积表示出来，根据二次函数图像的性质可得△PCF的面积最大值.作点M关于对称轴的对称点M'，过F点作FG∥MM'，易证FGM'M是平行四边形，FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，

根据两点之间线段最短可知：当O，N，M'，G四点共线时，GM'+NM'+ON的值最短，即 FM+MN+ON的值最小，代入数值即可求得.

（3）用待定系数法求得直线CD的函数解析式，求得G点坐标和DG的长度，当旋转到一定度数时，点G′会与点I重合，连接D'I，证得△G'D'I是等边三角形，分情况讨论即可得到GL的长.

【解析】
(1)∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣与y轴交于点C，

∴C(0，﹣)，

∵y＝﹣x2+2x﹣＝﹣(x﹣2)2+，

∴顶点D(2，)，对称轴x＝2，

∴E(2，0)，

设CE解析式y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直线CE的解析式：y＝x﹣；

(2) ∵直线CE交抛物线于点F(异于点C)，

∴x﹣＝﹣(x﹣2)2+，

∴x1＝0，x2＝3，

∴F(3，)，

过P作PH⊥x轴，交CE于H，如图1，

设P(a，﹣a2+2a﹣) 则H(a，a﹣)，

∴PH＝﹣a2+2a﹣﹣(a﹣)，

＝﹣a2+，

∵S△CFP＝PH×3＝﹣a2+，

∴当a＝时，S△CFP面积最大，

作点M关于对称轴的对称点M'，过F点作FG∥MM'，FG＝1，即G(4，)，如图2

∵M的横坐标为，且M与M'关于对称轴x＝2对称，

∴M'的横坐标为，

∴MM'＝1，

∴MM'＝FG，且FG∥MM'，

∴FGM'M是平行四边形，

∴FM＝GM'，

∴FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，

根据两点之间线段最短可知：当O，N，M'，G四点共线时，GM'+NM'+ON的值最短，即 FM+MN+ON的值最小，

∴FM+MN+ON＝OG＝＝；

(3)如图3，设CD解析式y＝mx+n，则，

解得：，

∴CD解析式y＝x﹣，

∴当y＝0时，x＝1．即G(1，0)，

∴DG＝＝2，

∵tan∠DGI＝＝，

∴∠DGI＝60°，

∵DI⊥DG，

∴∠GDI＝90°，∠GID＝30°，

∴GI＝2DG＝4

∴I(5，0)，

∵将△GDI沿射线GB方向平移至△G′D′I′处，将△G′D′I′绕点D′逆时针旋转α(0＜α＜180°)，当旋转到一定度数时，点G′会与点I重合，连接D'I，

∴G'D'＝D'I＝DG＝2，∠D'G'I＝∠DGI＝60°，

∴△G'D'I是等边三角形，

∴G'I＝2，G'K＝2D'G'＝4

∴G'(3，0)，

如图4，当I''与I、K重合，△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形，∠LGK＝∠GLK＝30°，

∴GL＝D'G+D'L＝4；

如图5，L与G''重合，△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形，

∴GL＝GD'+D'L＝2+2

综上，GL的长为4或2+2．