Question

如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)．

(1)求抛物线表达式及顶点坐标；

(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)条件下，是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y＝(x﹣)2﹣；顶点坐标为(，﹣)；(2) S＝﹣4(x﹣)2+25(1＜x<6)；(3)不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．

【解析】

（1）已知抛物线的对称轴，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．
(3)如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，-3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．

【解析】
(1)∵抛物线对称轴为直线x＝，

∴可设抛物线解析式为y＝a(x﹣)2+k，

把A(6，0)，B(0，4)代入可得， 解得

∴抛物线解析式为，

∴顶点坐标为(，﹣)；

(2)∵点E(x，y)在第四象限，

∴y＜0，

∴﹣y表示点E到OA的距离，

令

解得：

即抛物线与轴的另一个交点坐标为：则1＜x＜6；

∵OA是平行四边形OEAF的对角线，

∴S＝2S△OAE＝2××OA•|y|＝﹣6y＝﹣4(x﹣)2+25，其中1＜x＜6；

(3)当OA⊥EF且OA＝EF时，四边形OEAF是正方形，

此时E点坐标为(3，﹣3)，而坐标为(3，﹣3)的点不在抛物线上，

故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．